Teoría de Conjuntos

La teoría de conjuntos: es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.¹​

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel.

Ejemplo 1

En una escuela hay 130 alumnos, 50 juegan con una pelota en el receso, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una pelota o cuerda? ¿Cuantos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuantas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo)

Ejemplo 2

Se les regalaron a 200 personas, playeras de dos grupos de géneros (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambas. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguna? (esto no es un ejemplo de un conjunto)

Introducción 

Artículo principal: Conjunto

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La obtención de un elemento ${\displaystyle a}$ a un conjunto ${\displaystyle A}$ se indica como ${\displaystyle a\in A}$.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos ${\displaystyle B}$ de un conjunto dado ${\displaystyle A}$ es un subconjunto de ${\displaystyle A}$, y se indica como ${\displaystyle B\subseteq A}$(${\displaystyle B}$ está incluido en ${\displaystyle A}$). También se puede expresar esto escribiendo ${\displaystyle A\supseteq B}$ (que se lee ${\displaystyle A}$ contiene a ${\displaystyle B}$ o ${\displaystyle A}$ incluye a ${\displaystyle B}$).²​

Ejemplos.

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$

• El espacio tridimensional ${\displaystyle E_{3}}$ es un conjunto de objetos elementales denominados puntos ${\displaystyle p,p\in E_{3}}$. Las rectas ${\displaystyle r}$ y planos ${\displaystyle \alpha }$ son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de ${\displaystyle E_{3}}$, ${\displaystyle r\subseteq E_{3}}$ y ${\displaystyle \alpha \subseteq E_{3}}$.

Álgebra de conjuntos

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

Los conjuntos y las operaciones con conjuntos se pueden representar visualmente empleando los diagramas de Venn.